Pour quoi si APC=90-ABC, PaPbPc est rectangle?
J'ai commencé à déplacer P, et j'ai
trouvé un cas spéciale dans lequel la construction se simplifie:
lorsque P est sur la droite BC. Alors P=Pa.
J'ai construit les segments AP, APb et APc, qui sont
égaux et forment des triangles isocèles. Dans cette configuration
P, A et Pc sont alignés.
PPc étant perpendiculaire à AB, les triangles PAM (avec M projété de P sur AC) et PPcPb sont semblables.En effet, par symétrie PPc=2PA et PPb=2PM. PMA étant rectangle, alors PPbPc est rectangle aussi.
Le triangle PcAPb étant isoscèle, les deux dernières égalités constituent une explication de pourquoi PcPbPa est rectangle, car elles impliquent que PbPa est parallèle à la bissectrice de PcAPb.
Je devais démontrer alors ces égalités.
En redéfinissant P comme point libre, j'ai trouvé que PcPPb=CAB et PcAPb=2CAB étaient toujours vrais, mais APbPa=CAB ne l'était plus.
J'ai conclut que les deux premières égalités étaient dues à la symétrie, la troisième au fait que APC=90-ABC. Alors j'ai prit seulement les droites AB et AC et le point P. En construisant les symétriques de AP par rapport aux deux droites, j'ai prit conscience d'une composition de symétries axiales: AP est symétrique de APb et APc est symétrique de AP. Toute composition de symétries d'axes non parallèles étant une rotation du double de l'angle entre les axes, l'égalité PcAPb=2CAB est démontrée.
Alors, j'ai découvert une autre propriété invariante: APC-APbPa est constante.en observant la configuration, j'ai vu que cet angle était aussi PaPbC.
En considérant la symétrie de P par rapport à BC, j'ai pu vérifier que PbCPa=2PCA+2PC(-B), c'est à dire que
PbCPa=2(180-BCA). PbPaC étant isoscèle, on peut calculer PaPbC
PaPbC=(180-PbCPa)/2
= (180-2(180-BCA))/2
=(180-360+2BCA)/2
=(2BCA-180)/2
=BCA-90
Donc
APC-APbPa=PaPbC=BCA-90
Si APbPa = BAC, alors
APC=BCA-90+BAC
APC= BCA+BAC-90
APC=180-ABC-90
APC=90-ABC.