Queda la pregunta de por qué para todo P tal que APC=90-ABC, PaPbPc es rectangulo.
Explorando la construcción comencé a mover P, y descubrí un caso especial en el que la construcción se simplifica: cuando P está sobre la recta BC. En este caso P=Pa. Construi los segmentos AP, APb y APc, que son congruentes y forman triangulos isosceles. En esta configuracion, P,A y Pc estan alineados.
Como PPc es perpendicular a AB, se forman dos triangulos semejantes: PAM (donde M es la proyeccion ortogonal de P sobre AC) y PPcPb. Como son simetricos, PPc=2PA y PPb=2PM, por lo tanto son semejantes. Como PMA es rectangulo, entonces PPbPc tambien lo es.
Al explorar el caso general de APC=90-ABC, descubrí que había otras congruencias de angulos. En particular, PcPPb=CAB, APbPa=CAB y PcAPb=2CAB.
Como el triángulo PcAPb es isosceles, las dos ultimas igualdades constituyen una explicacion de que PcPbPa sea rectangulo, pues implican que PbPa sea paralelo a la bisectriz de PcAPb.
Faltaba entonces demostrar esas igualdades.
Al redefinir P como punto libre, descubrí que se conservaba PcPPb=CAB y PcAPb=2CAB, pero se perdía APbPa=CAB.
Así que las primeras dos igualdades se debían a la simetría, la otra al hecho de que APC=90-ABC. Decídí entonces tomar solo las rectas AB y AC y el punto P. Al construir los simetricos de AP con respecto a las dos rectas, caí en la cuenta de que había una composicion de simetrías axiales. AP es simetrico de APb y APc es simetrico de AP. Como toda composicion de simetrias de ejes secantes es una rotacion del doble del angulo entre los ejes, quedaba demostrado que PcAPb=2CAB.
Luego descubrí otra propiedad invariante: APC-APbPa es constante. Al observar de nuevo la configuracion, descubrí que ese angulo es PaPbC.
Al mirar la simetría de P con respecto a BC, pude verificar que PbCPa=2PCA+2PC(-B), es decir que
PbCPa=2(180-BCA). Como PbPaC es un triángulo isosceles, puede calcularse PaPbC
PaPbC=(180-PbCPa)/2
= (180-2(180-BCA))/2
=(180-360+2BCA)/2
=(2BCA-180)/2
=BCA-90
Luego
APC-APbPa=PaPbC=BCA-90
Si APbPa = BAC, entonces
APC=BCA-90+BAC
APC= BCA+BAC-90
APC=180-ABC-90
APC=90-ABC.