Konstruktion von Fraktalen
CHBE
CHBE001
Résumé, summary
Das Programm IFS ist über die Tastatur zu bedienen (eine Mausversion ist in Arbeit). Tasten, die eine Funktion erfüllen sind in der Menüzeile rot hervorgehoben.
BEISPIELSITZUNG:
1. Arbeiten mit Beispieldateien:
1.1. Wechseln Sie ins Verzeichnis, das alle Dateien der Diskette enthält. Starten Sie des Programms mit: IFS.
1.2. Drücken Sie 'l' oder 'L': Es erscheint eine Liste aller Dateien mit der Erweiterung DAT. Nach der Eingabe eines Namens (z.B. 'farn' ohne Erweiterung) wird die Collage gezeichnet.
1.3. Mit 'I' wird die Berechnung des Fraktals gestartet. Die Farben lassen sich im Hauptmenü durch mehrmalige Eingabe von 'F' und 'U' verändern. Die Berechnung des Fraktals geht aber erst nach erneuter Eingabe von 'I' weiter Bemerkung: Es ist sehr lehrreich, dem fertigen Fraktal mit 'C' die Collage zu überlagern. ('C' ist ein Toggle-Befehl.)
2. Verändern einer Collage:
Es lässt sich sehr schön demonstrieren, dass der fraktale Attraktor unabhängig vom Umrisspolygon, aber sehr wohl abhängig von den Abbildungen ist:
2.1. Laden Sie zum Beispiel den Farn. Wechseln Sie jetzt mit 'P' in den Polygon-Konstruktionsschirm. Die Menüleiste sieht jetzt anders aus und es erscheint ein Raster und ein Kreuzcursor.
2.2. Löschen Sie jetzt mit 'P' das Polygon. (Keine Angst, es wird nur im Arbeitsspeicher gelöscht.) Bewegen Sie jetzt den Cursor mit den Pfeiltasten in Richtung Zentrum (z.B. bis auf 2 Rastereinheiten, so dass dann als Polygon ein 4x4 Quadrat im Zentrum entstehen wird.) Mit ENTER werden jetzt die vier Eckpunkte eingegeben. (Dabei lernen Sie gerade die praktische Gummibandgrafik kennen.)
2.3. Nachdem Sie jetzt im Zentrum ein Quadrat (bei Default-Farben gelb) haben, wechseln Sie mit 'H' wieder ins Hauptmenü. Nach Eingabe von 'B' und 'C' haben Sie jetzt eine neue Collage.
2.4. Taste 'I', ev. in Verbindung mit 'F' und 'U' erzeugt jetzt wieder den bekannten Farn. Wenn Sie wollen, können Sie diese Collage mit 'S' und Eingabe eines neuen Namens speichern. Die Eingabe des gleichen Namens überschreibt die Datei! (Allerdings erst nach Rückfrage.) (suite dans remarques).
Discipline, subject :
mathématiques
Mathematik
mathematics
matematica
Public :
postobligatoire
Weiterführende Schulen
upper high school
postobligatorio
Contacts :
Weber, Beat
Landoltstrasse 95
3007
BERN
Tel : (031) 45 38 21
Mail :
Fax :
Pédagogie, pedagogy :
Interaktives mathematisches Experimentieren. Konstruktion von Fraktalen.
Apprentissage, learning :
Der Schüler konstruiert ein Polygon und daraus mit Hilfe affiner Abbildungen eine Collage.
Enseignement, teaching :
Anschauliches Darstellen linearer Abbildungen in der Ebene. Begriffe: Fixpunkt, Attraktor, Fraktal.
Technique :
Société, society :
Culture :
Institution :
Logistique :
IBM-kompatibler Rechner mit VGA oder EGA
Remarques, remarks :
2.5. Der fraktale Attraktor ist also nur von den Collage-Abbildungen abhängig. Diese lassen sich wie folgt verändern: Starten Sie mit einer Collage im Hauptmenu. Wechseln Sie mit 'A' in den Abbildungsschirm. Rechts oben steht jetzt die Nummer der aktiven Abbildung w (z.B. w(5)) und die Abbildung selbst in Form einer 2x2-Matrix und einem Translationsvektor. Am Anfang steht dort eine Ähnlichkeit mit Streckungsfaktor 0.5 und der Nullvektor als Vorschlag für eine neue Abbildung.
2.6. Wir wollen aber jetzt nicht eine neue Abbildung hinzufügen, sondern eine alte bearbeiten. Drücken Sie also 'B' und die Nummer (z.B. 3). Nach ENTER erscheint die Abbildung mit dieser Nummer rot, ist also aktiv. Mit '7', '8', '4' und '5' können Sie jetzt die Matrix, und mit '9' und '6' den Translations-vektor ändern. Mit '-' wird das Vorzeichen geändert und mit '1', '2' und '3' lässt sich die Schrittweite einstellen. Die Sache erfordet etwas Übung, obwohl das Resultat sofort zu sehen ist. (Versuchen Sie als Beispiel bei der Farn-Collage die Änderung der Abbildung 3 mit: '-' '7' '9' ENTER. Wechseln Sie ins Hauptmenu und erzeugen Sie mit 'I' den neuen Farn.)
3. Erzeugen einer neuen Collage:
Am interessantesten ist natürlich die Konstruktion eines eigenen Fraktals. Mit Hilfe des Collage-Prinzips kann man auch natürliche Vorbilder modellieren (siehe z.B. die Collage 'Ahorn'). Wir beschränken uns hier aber auf das einfache Beispiel des Sierpinsi-Dreiecks.
3.1. Konstruieren Sie im Polygonmenu ein Dreieck wie unter 2.2. beschrieben. Wechseln Sie dann mit 'H' 'A' via Hauptmenu ins Abbildungsmenu.
3.2. Die vorgeschlagene Abbildung können wir gerade verwenden; es braucht nur noch eine Translation ('9', '6' und '-', ev. '1' bis '3' für die Schrittlänge) um das kleine Dreieck in eine Ecke zu verschieben. Wenn es hineinpasst, drücken Sie ENTER.
3.3. Wiederholen Sie 3.2. noch für die beiden andern Ecken.
3.4. Nachdem Sie so drei Abbildungen w(1) bis w(3) konstruiert haben (der Zähler steht jetzt auf 4) ignorieren sie die vierte, und wechseln Sie mit 'H' ins Hauptmenu.
3.5. Mit 'I' können Sie jetzt den Fraktalen Attraktor konstruierenund eventuell mit 'S' speichern. (Eine Beispieldatei 'sierpi' existiert zwar schon.)
Literatur: In 'M. Barnsley, Fractals everywhere' werden die mathematischen Grundlagen ausführlich abgehandelt.