Komplexe Funktionen und Fraktale
CHSG
CHSG004
Résumé, summary
Bei den üblichen komplexen Funktionen (Drehstreckungen Inversion am Einheitskreis, f(z)=z^2) wurden zunächst Geraden und Kreise mit Cabri abgebildet und dann die Resultate rechnerisch bestätigt (Parabeln, Kardioide). Experimente mit f(z)=z^n auf einen Punkt angewendet, führen zu Vielecken (periodische Attraktoren) und zu Konvergenz (Attraktor 0) und Divergenz. Abbildungen von Geraden und Kreisen mit f(z)=z^3 führen zu algebraischen Kurven, welche mit Cabri auch geometrisch erzeugt (siehe z.B. Brieskorn: Plane algebraic curves, ISBN 3-7643-1769-89) und teilweise elementar berechnet und mit einem Funktionsplotter (anderer Zugang) dargestellt werden können.
Dann wird f(z)=z^2+c angewandt auf Geraden und Kreise. Bei der iterierten Folge f^n(z) werden die Bilder von Geraden zu komplex, hingegen kann man mit Punkten die Attraktoren abtasten. Damit ist genügend Vorbereitung vorhanden, um mit einem Programm wie "The beauty of fractal Lab" Mandelbrot und Juliamengen darzustellen und mit Szenen aus dem Video "Fraktale in Filmen und Gesprächen" Zoom-animationen zu zeigen. Der Rand der Attraktionsgebiete mit Periode 1 und 2 (Kardioide, Kreise) kann auch mit elementaren Mitteln rechnerisch nachgeprüft werden.
Discipline, subject :
mathématiques
Mathematik
mathematics
matematica
Public :
postobligatoire
Weiterführende Schulen
upper high school
postobligatorio
Contacts :
Hugelshofer, René
Frauenäckerstr. 18
9435
HEERBRUGG
Tel : (071) 72.52.37
Mail :
Fax :
Pédagogie, pedagogy :
Eine Brücke von der komplexen Funktion f(z)=z*z zu den Mandelbrotmengen schlagen.
Apprentissage, learning :
Visualisieren abstrakter Vorgänge
Enseignement, teaching :
Leichterer und anschaulicherer Zugang zu den oft als abstrakt erlebten komplexen Funktionen. Viele Vertiefungsmöglichkeiten für selbständiges Arbeiten sind möglich.
Technique :
Verwendete Programme: Cabri-Geometer und The beauty of fractal Lab (ISBN 3-540-15851). Video: Fraktale in Filmen und Gesprächen (ISBN 3-89330-971-3)
Société, society :
Die Lerndenden sind begeistert von diesem Zugang zur fraktalen Geometrie und einige beschäftigen sich gemeinsam weiterhin mit dem Thema.
Culture :
Die Schönheit der Cabri-Kurven und der Mandelbrot- und Juliamengen können spielerisch erlebt werden.
Institution :
Reservation einiger Computer. Disketten mit den Programmen und Dateien vorbereiten. Videospieler reservieren.
Logistique :
Theoretische Grundlagen der komplexen Zahlen und Funktionen müssen vorhanden sein.
Remarques, remarks :
Es ist wichtig, dass Mandelbrot und Juliamengen nicht als Modernitätshascherei, sondern von einem gewissen Hintergrund her eingeführt werden. Sonst verbaut man sich die vielen schönen mathematischen Fragestellungen rund um dieses Gebiet.